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基于Logistic和Gompertz模型的组合沉降预测

时间:2011-6-20 21:46:14 点击:3567

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  引言

  基于实测资料的沉降预测在高速铁路客运专线建设中具有非常重要的意义,迄今为止,已经有许多预测沉降的方法,如双曲线法、三点法、指数函数法、Asaokao法、马尔柯夫预测法、灰色系统理论法等[1],由于在预测之中,采用的模型不同,会出现各种偏差。

  组合预测方法是把不同的预测方法进行组合,以恰当的加权平均形式得到组合预测模型,从而达到综合利用各种方法所提供的信息,它集合多种单一模型所包含的信息,进行最大组合,通过组合预测可以达到改善预测结果的目的,提高组合预测质量的关键问题是权重的确定,在找到最优的权重计算方法,实现沉降模型的高精度预测。

  1 Logistic和Gompertz曲线模型

  1.1 L ogistic曲线模型

  L ogistic曲线模型最初由被马尔萨斯提出,威赫尔斯特将其归纳并用数学公式表达。该模型又被称为Verhulst-Pearl模型,逻辑曲线模型、增长曲线模型、泊松曲线模型等,它在生态学、人口学等领域得到广泛应用【2-4】,其模型函数为:

   (1)

  式中a,β,γ为参数;t为时间序列,S为对应时间的预测值。它的一阶导数和二阶导数分别为:

   (2)

  (3)

  由式(2)和(3)可知拐点坐标为:( , ),最大增长率: ,三个参数分别为: , , 。对参数进行变换可得: , , ,其隐函数方程: 。

  1.2 Gompertz曲线模型

  Gompertz曲线模型是由英国统计学家和数学家B.Gompertz【4】提出的,它是一种生长曲线,其模型函数表达式为:

   (4)

  式中a,β,γ为参数;t为时间序列,S为对应时间的预测值。它的一阶导数和二阶导数分别为:

   …………..5

   …….6

  由式(5)和(6)可知拐点坐标为:( , ),最大增长率: ,三个参数分别为: , , 。对参数进行变换可得: , , ,其隐函数方程: 。

  1.3 Logistic和Gompertz曲线模型的特性

  1.3.1 不通过坐标原点

  Logistic和Gompertz曲线模型在图形上均呈现出“S”型分布,并且具有良好的适应性,在t=0时,Logistic曲线 ,Gompertz曲线 也就是沉降-时间曲线不通过原点,文献[5]对不通过原点的机理进行了分析。

  1.3.2 单调递增性

  式(2)和(5)为模型函数对时间的一阶导数,即为沉降速率,可以看出沉降速率恒大于零,沉降总是随着时间的增加而增加。这与全过程沉降的单调递增性相符,并反映了沉降随时间的变化特征,沉降速率先增加较快,后增加减慢,最后趋近于零。

  1.3.3 有界性

  当时间t趋于无穷大时,对L ogistic和Gompertz曲线模型最终都趋于一定值,即:

   (7)

   (8)

  1.3.4 曲线呈“S”形

  式(3)和(6)为模型函数对时间t的二阶导数,对于Logistic曲线模型,在拐点坐标之前,二阶导数 ,增长曲线呈下凸形,增长速度越来越快;在拐点坐标之后,二阶导数 ,增长曲线呈上凸形,增长速度越来越慢。对于Gompertz曲线模型,在拐点坐标之前,增长曲线呈下凸形,增长速度越来越快;而这之后的时间内, ,增长曲线呈上凸形,增长速度越来越慢。Logistic和Gompertz曲线模型的增长率都大于零,且有唯一的拐点和一条水平渐进线,它们的性态与参数都有着类似的密切关系。在形式上,Gompertz曲线模型可以看做时对Logistic曲线模型对中间变量 的线性展开。即略去余项的一级Maclaurin展开。当自变量t趋近于无穷大时,曲线趋于一个限值,通常称此为饱和值,变形曲线在形状上呈现“S”形【6】。

  1.3.5 满足固结度条件

  根据固结度定义【7】,对于L ogistic和Gompertz曲线模型分别有:

   (9)

   (10)

  从以上两个式子可以看出,当t=0时,U=0;当 时,U=1。

  基于以上分析,可以发现Logistic和Gompertz曲线模型与线性或非线性加载条件下地基沉降的变形特征较符合。

  2 两种三参数模型的拟合

  在最小二乘意义之下以n个观测点(ti,Si)对三参数的Logistic和Gompertz曲线模型进行拟合,在使用拟合隐函数的Gauss-Newton-Langrange (GNL)法时,在一定的参数变换下,它们都可化为两个线性化参数、一个未线性化参数的隐函数方程,且保持原有参数的独立性。

  对于隐函数方程中的θ1、θ2已经线性化,因此它们对初始值没有要求,不必再作估计,可为零。关键在于对单个未线性化参数θ3的初始估计,利用GNL可以采用变步长进退法【8】,对它进行一维搜索。对两种模型θ3的搜索起点可分别取为

  或 (11)

  可采用以下三种方法之一对 、 进行估计。

  2.1 作出散点图,大致绘出S型拟合曲线。由图形估计拐点所在位置及 、 的大小。

  2.2 当自变量t系以等间距T观测所得时,可计算除首尾之外的观测点中心差商

   , (12)

  取其中的最大值为 ,相应的因变量为 。

  2.3 当自变量t非等间距观测时,可计算所有相邻观测点的一阶差商

   ,

  (13)

  以此作为它们中心 处的中心差商,取其中的最大值为 ,相应的因变量为 。

  3 基于规划法确定权重的组合预测

  对于某个目标的预测,假定有m种沉降预测模型, , , , ,t=1,2, ,N,同时 也表示第i种预测模型第t期的预测值; 表示上述m种预测模型的加权集合平均组合预测模型,同时也表示此模型第t期的预测值【9】。

  (14)

  令 ,且 , , 。若用 表示第t期的实际沉降观测值,并分别用 和 表示 和 的对数误差,则由于:

  

   (15)

  式中, ; 为m阶方阵。从而得到对数误差平方和为:

   (16)

  式中,矩阵 一般是正定矩阵。因为 ,所以矩阵A为对称矩阵;

  对任意 ,有:

   (17)

  若 恒为零,则 , ,即对任意非零m维向量X,都是方程组(18)的解。

   (18)

  若取 , , , ,则有 , ,,而事实上 一般不全为零,所以:

  (19)

  由于矩阵A为正定矩阵,从而矩阵A可逆,且对任意一个非零向量W,S2>0。基于优化理论的一种组合预测权重确定方法,利用规划法求解最优组合权重的大体思路是构造一个线性(或非线性)规划问题,然后进行求解。记 ,则最有权系数W可在 , 的约束条件下,使组合预测模型的对数误差平方和 达到最小来确定【10】,即:

  (20)

  式(上)的问题在于其最优解有时会出现负分量,所以可以对约束条件进行修改以避免这个问题,于是有如下组合预测优化模型。

   (21)

  利用文献[10]的结果,其解为:

   (22)

  Logistic和Gompertz曲线均为成长曲线,为提高两者的精度,使之更符合实际,本文将对两种预测模型进行加权几何平均,求取S—t的最优组合函数,该组合函数的精度不仅比任一曲线模型的精度要高,而且可靠性也比各个单一曲线模型要好,组合函数表达式如下:

  (23)

  特别的,对于由Logistic模型与Gompertz模型组合成的加权几何组合预测模型,其最优权系数为:

   (24)

  在实际计算时,只须求出w1、w2中任意一个,另一个可由w1+w2=1求得。

  4 工程实例

  海榆西线是三亚市的一条东西走向的重要城市主干略,工程西起西线高速,向东沿途经过桃园路、陶然路、海虹路、终点为凤凰路,全长约8.85公里。填土高度5.35m,地面不平,路堤高度6.2m。路堤的填筑是从 2008年4月1日开始,2009年1月31日结束的。现根据第三级荷载加上后180d的实测数据,利用传统的三点法和对数转换并线性化,得出L曲线为 和G曲线为 。

  分别记绝对误差平方和、相对误差平方和、标准误差和相对标准误差为:

   , , ,

  据此可以求得:

   ,

  从而得到最优权系数:w1=0.9536,w2=0.0464可以得到最优加权组合预测模型为:

   。

  由以上表达式可知对于一个预测模型S(t),其预测值属于随机变量,则实测值与预测值之差亦为随机变量。

  表1各个预测模型的精度指标比较

  模型类型SSESSPESESPE

  Logistic0.07310.06230.09320.0861

  Gompertz0.03260.16420.04520.1624

  组合模型0.03310.01240.06290.0417

  Gompertz模型的SSE和SE最大,Logistic模型的SSE和SE次之,组合预测模型的SSE和SE最小,从刻划模型稳健性的指数SSPE来看,组合预测模型的SSPE远小于G-曲线和L-曲线。这表明本文最优组合预测模型的精度较Logistic模型和Gompertz模型要高。

  5 结论

  5.1 将Logistic生长模型和Gompertz模型进行优化组合,以组合模型的对数误差平方和最小为目标函数来确定最优加权系数,建立出地基沉降预测的最优加权几何平均组合模型。

  5.2 工程实例表明,由最优组合模型预测的沉降值误差小于参加组合的两个预测模型,其预测精度和可靠性比各个单一预测模型的要好,具有一定的参考价值。

  参考文献

  [1]宰金珉,梅国雄.全过程的沉降量预测方法研究[J].岩土力学,2000,21(4):322-325.

  [2]赵明华,刘煜,曹文贵.软土路基沉降发展规律及其预测[J].中南大学学报(自然科学版),2004,35(1):157-161.

  [3]王志亮,郑明新,吴勇,等.增加曲线模型在路基沉降预测中的应用研究[J].岩土力学,2004,25(6):901-903.

  [4]Gompertz B.On the Function Expressive of the Law of Human Mortality, and on a new Method of Determining the Value of Life Contingencies[M]. [s.l]:Philoso phical)Transactions of the Royal Society, 1825,513-585

  [5]Gompertz B.On the Function Express ive of the Law of Human Mortality, and on a new Method of Determining the Value of Life Contingencies[M].[s.l]:Philosophical)Transac tions of the Royal Society,1825,513-585

  [6]梅国雄,宰金珉.地基沉降—时间曲线型态的证明及其应用[J].土木工程学报,2005,38(6):486-489.

  [7]佘闯,刘松玉.路基沉降预测的Gompertz模型应用研究[J].岩土力学,2005,26(1):425-427.

  [8]葛雄灿,胡秉民,高 毅.最优组合预测方法及其在Logistic曲线与Gompertz曲线之综合拟合中的应用[J].浙江农业大学学报,1998,24(4):443-446

  作者简介:

  孙宏斌,男,湖南东安人,1969年8月,工程师,建造师。主要从事市政道路工程以及房屋建筑施工方面的研究。

  

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